Hlcysjt

ក្រាបនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកលើដែនកំនត់ R

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

និយមន័យ[កែប្រែ]

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ sinh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

ដែល ${\displaystyle e}$ គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។

គេនិយមសរសេរ

${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->z=\frac{e^z-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->z}}{2}}$

លក្ខណៈទូទៅ[កែប្រែ]

• អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់)
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) គឺជា អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh)

${\displaystyle \frac{d}{dx}(\sinh <!--\; \; -->x)=(\sinh <!--\; \; -->x{)}^{\prime }=(\cosh <!--\; \; -->x)}$

• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកគឺ cosh + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល

${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->\sinh <!--\; \; -->xdx=\cosh <!--\; \; -->x+C}$

• អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍សេស​និងកើនដាច់ខាតលើ ${\displaystyle \mathbb{R}}$។

លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ[កែប្រែ]

តាមនិយមន័យនៃ​​អនុគមន៍ស៊ីនុស​​និង​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle e^z=\cosh <!--\; \; -->z+\sinh <!--\; \; -->z}$

${\displaystyle e^{-<!--\; -\; -->z}=\cosh <!--\; \; -->z-<!--\; -\; -->\sinh <!--\; \; -->z}$

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ ${\displaystyle (\cos <!--\; \; -->t,\sin <!--\; \; -->t)}$ កំនត់បានរង្វង់មួយ។ ${\displaystyle (\cos <!--\; \; -->t,\sin <!--\; \; -->t)}$ កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle {\cosh }^2<!--\; \; -->t-<!--\; -\; -->{\sinh }^2<!--\; \; -->t=1}$

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ ${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}$

${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->(ix)=\frac{e^{ix}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->ix}}{2}=i\sin <!--\; \; -->x}$

${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\sin <!--\; \; -->(ix)}$

${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->(x+y)=\sinh <!--\; \; -->x\cosh <!--\; \; -->y+\cosh <!--\; \; -->x\sinh <!--\; \; -->y}$

${\displaystyle {\sinh }^2<!--\; \; -->\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cosh <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->1}{2}}$

ស៊េរីតេល័រ[កែប្រែ]

sinh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->z=z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

តំលៃ[កែប្រែ]

តំលៃមួយចំនួននៃ sinh

• ${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->(0)=0}$
• ${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->(1)=\frac{e^2-<!--\; -\; -->1}{2e}}$
• ${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->(i)=i\sin <!--\; \; -->(1)}$

អនុគមន៍ច្រាស់[កែប្រែ]

ក្រាបនៃអនុគមន៍ ${\displaystyle \mathrm{arcsinh}}$

អនុគមន៍ច្រាសនៃsinh គឺជា​អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស​តាងដោយ ${\displaystyle \mathrm{arsinh}}$ ឬ arcsinh ។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយកាត់ជាបំនែកអង្កត់ ${\displaystyle \left]-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}i;-<!--\; -\; -->i\right[}$ និង ${\displaystyle \left]i;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}i\right[}$ ។

${\displaystyle \mathrm{arcsinh}<!--\; \; -->(z)=\ln <!--\; \; -->(z+\sqrt{1+z^2})}$

ចំពោះ ${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}$sinh មានដែនកំនត់លើ ${\displaystyle \mathbb{R}}$ ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖

${\displaystyle arcsinh(x)=ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}$

សូមមើលផងដែរ[កែប្រែ]

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក